Bell Teorema - errealitatearen benetazko izaera

Bell teoremak errealitate fisikoaren izaera nolakoa den neurtzeko aukera ematen du, funts funtsean ea mekanika kuantikoaren legepean dagoen edo determinismoaren eta mekanika klasikoaren erreinuan mugitzen den erabakitzekoa.

XX mendearen lehen hiru hamarkadak amaitzerako mekanika kuantikoa erabat zehaztua zegoen teorikoki eta matematikoki, eta fisikari gehienek sortutako bi adar berriri ekin zieten: mekanika kuantikotik haratago zegoen eremu-teoria kuantikoari, eta fisika kuantikoaren aplikazioei (hala nola fisika atomikoa edo nuklearra). Mekanika kuantikoaren esanahia zein zen, eta nola aldatzen zuen errealitaten inguruan dugun pertzepzioa, dena den, airean zegoen.

Einstein gogor saiatu zen mekanika kuantikoaren ondorio filosofikoei aurre egiten, EPR paradoxa izanik saiakuntza horien artean indartsuenetarikoa. Fisika klasikoko determinismoa alde batera uztea galera handia zen, eta gure pertzepzioan jauzi oso handia zen ziurgabetasun printzipioa bezalako ideiak barneratzea.

Beste aldean, Niels Bohr eta bere jarraitzaileak zeuden, mekanika kuantikoa nola barneratu eta errealitatea nola ulertu azaltzen zutenak, euren Kopenhage interpretazioaren bidez. Interpretazio honek zioenez, ziurgabetasun printzipioa bere horretan onartzeko modua, sistema baten inguruan egin zitezkeen galderak mugatzea zen. Ezin da "zein egoeratan dago sistema?" bezalako galderarik egin, baizik eta beti behatzaileen eta neurketen ikuspuntutik egin behar dira galderak: "sistemaren ezaugarri hau neurtzen badut, zein emaitza izango ditut?". Honela, neurketen emaitzen ziurgabetasuna galdera honen baitan geratzen da, ez da ezer adierazten sistemaren berezko egoeran. Sistemaren egoerari buruz galdetzea, inor entzuten ari ez denean ea zuhaitz batek erortzean soinurik egiten ote duen galdetzea bezala da; galdera filosofikoa da, ez du zentzurik fisikaren ikuspuntutik.

Baina Einstein eta antzeko ikuspuntua zutenek zioten hori ezin zela horrela izan. Nahiz eta geuk neurtu ezin izan, errealitateak izan beharra zuela bere berezko egoera bat. Ezkutuko aldagaiak aipatzen zituzten, behatzaile baten neurtu ezin dituenak, eta aldagai horien baitan sistema batek bazuela egoera ondo definitu eta determinista bat. Ezkutuko aldagaien teoriak ere garatu ziren. Baina arazoa funtsean metafisikoa zen, laborategi batean egin zitezkeen experimentu guztiak mekanika kuantikoen lege eta arauekin aurrikusi bait zitezkeen.

Harik eta John Stewart Bell fisikari ipar-irlandarrak 1964an bere teorema ospetsuena argitaratu zuen arte. Bertan azaldu zuen nola bazeuden experimentu konkretu batzuk non, errealitatea klasikoa bazen eta ezkutuko aldagaien baitan gidatzen bazen, experimentuen emaitzek beti gehienez 2 balioa izango zuten, 2 edo 2 baino txikiagoa. Baldintza honi Bellen desberdintza deritzaio. Eta azaldu zuen nola, mekanika kuantikoa erabiliz, experimentu berarentzat $2\sqrt 2$ emaitza lortuko litzatekeen, 2 baina handiagoa. Ezkutuko aldagaien teoria klasikoek eta mekanika kuantikoak emaitza ezberdinak aurrikusten zituzten, eta experimentu konkretuak zirenez, laborategian bertan frogatu zitekeen ea zuzena zein zen.

Bellen teorema argitaratu bezain laster laborategian lanean hasi ziren fisikariak, proposatutako experimentuen emaitzek ea Bell desberdintza betetzen zuten ala ez ikusteko. Segituan hasi ziren ikusten desberdintza puskatzen zutela, 2 baino balio handiagoak ikusten zituztela, eta mekanika kuantikoak aurrikusitako emaitzak lortzen zituztela.

Gaur egun ere ari dira geroz eta experimentu zehatzagoak egiten, emaitza ahalik eta nabarmenena izate aldera. Badirudi jada zalantzarik ez dagoela eta aldagai ezkutuko teoriak baztertu daitezkeela: errealitatea kuantikoa eta ez-determinista da eta ez dago bere funtsean ezer kontrakoa iragartzen duenik.

Badaude oraindik experimentuetan teknizismo batzuk gehiago doitu daitezkeenak, lortutako emaitzan batere zalantzarik ez izateko. Adibidez, emaitza neurketa askoren batazbestekotik lortzen da, eta ziurtatu beharra dago sistemako elementu guztiak ongi neurtzen direla, hala ez balitz neurtzea lortzen ez diren elementuek batazbesteko emaitza aldatzeko gaitasuna izango bailukete. Dena den, azken urteetako experimentuak oso zehatzak izan dira eta aukera hauek ia baztertuta daude.

Hurrengo ataletan, Bell experimentuetako bat zehazten dugu, eta bai mundu klasikoko eta bai mundu kuantikoko emaitzak nola lortzen diren azaltzen dugu. Mundu klasikoko kasuan Bell desberdintza agertuko da, eta mekanika kuantikoko kasuan desberdintza hau betetzen ez duen balio batera iritsiko gara. Kalkuluak luze xamarrak izan badaitezke ere, ez dago zailtasun berezirik eta bukaeraraino jarraitzea animatzen zaituztegu!

Mundu klasikoko emaitza

Lehenengo mundu klasikorako experimentua zehaztuko dugu, eta lortuko liratekeen emaitzak aurkituko ditugu. Ondoren experimentu bera mundu kuantikoan aztertuko dugu.

Beude sistema batean neurtu ditzakegun lau ezaugarri: $A$, $B$, $C$ eta $D$. Ezaugarriak independienteak dira elkarren artean: ezaugarri baten balioak ez du beste ezaugarri baten balioan eragiten. Gainera, esango dugu ezaugarri guztiek bi balio posible bakarrik dituztela: 1 eta -1. Hau da, ezaugarri bat neurtzen badugu, bere emaitza posible bakarrak 1 eta -1 izango dira.

Bilatu nahi dugun balioa honakoa da:

$$\left< AC \right> - \left< AD \right> + \left< BC \right> + \left< BD \right>$$

Non $AC$ jartzen dugunean, $A$ emaitzaren balioa bider $C$ emaitzaren balioa esan nahi dugun; $A$ eta $C$ emaitzen balio posible bakarrak 1 eta -1 direnez, $AC$ zenbakiaren balio posible bakarrak ere 1 eta -1 izango dira. Gainera, $\left< AC \right>$ jartzen dugunean, $AC$ balioaren batazbestekoa esan nahi dugun, $A$ eta $C$ behaketak behin eta berriro egingo bagenitu.

$AC-AD+BC+BD$ balio posibleak kalkulatzea erraza da. $A$ eta eta $B$ kanporatu eta:

$$AC-AD+BC+BD=A(C-D)+B(C+D)$$

Hemen bi aukera daude:

• $C=D$ bada, $C-D=0$ eta $C+D=\pm 2$. Eta $B=\pm 1$ denez, $B(C+D)=\pm 2$
• $C=-D$ bada, $C+D=0$ eta $C-D=\pm 2$. Eta $A=\pm 1$ denez, $A(C-D)=\pm 2$

Beraz kasu guztietan $AC-AD+BC+BD=\pm 2$. Esperimentu hau behin eta berriro errepikatzen badugu, behaketa eta neurketa berriak eginez, batzuetan -2 emaitza izango dugu eta beste batzuetan 2 emaitza. Hala, bere batazbestekoa -2 eta 2 artean egongo da, hau da:

$$-2 \le \left< AC-AD+BC+BD \right> \le 2$$

Batazbestekoen oinarrizko ezaugarriak erabiliz, $\left< AC-AD+BC+BD \right> = \left< AC \right> - \left< AD \right> + \left< BC \right> + \left< BD \right>$, eta azpiko muga (-2 balioarena) kenduz interesatzen ez zaigulako, behar genuen Bell desberdintzaren expresiora iristen gara:

$$\left< AC \right> - \left< AD \right> + \left< BC \right> + \left< BD \right> \le 2$$

Hau da, mundua klasikoa bada, 1 eta -1 balio posibleak dituzten lau behaketa ezberdin eta independienterekin aipaturiko konbinazioa behin eta berriro egiten badugu, bere batazbesteko balioa ez da sekula ere 2 baino handiagoa izango.

Mundu kuantikoko emaitza

Esperimentu bera egingo dugu, baina mundu kuantikoko ezaugarriak erabiliz. Emaitzara iristeko kalkulu dezente egin beharko ditugu, eta aurreko blog sarreratan azaldutako egiturak erabili beharko ditugu:

• Behagarriak eta egoerak
• Gainezarpen kuantikoa
• EPR paradoxa eta elkartze kuantikoa
  

Erabiliko dugun ezaugarria behagarri ez konmutagarriena da. Adierazten duena da mundu kuantikoan badaudela hainbat behagarri beraien arten konmutagarriak ez direnak: pertsona edo behatzaile batek ezin izango ditu bi behagarriren balio ziurrak jakin (zuzenean neurtuta edo zeharka) aldi eta une berean. Behagarri bakoitza, banaka hartuta, behagarri klasiko bezela hartu daiteke, aurreko adibideko $A$ bezala, adibidez, eta bere balio posibleak 1 eta -1 direla esan dezakegu. Baina $A$ eta $B$ behagarri ez konmutagarriak badira, orduan $AB$ neurtzen hasten garen unean gauza arraroak gertatzen hasiko dira, eragin kuantikoak agertuko dira.

$A$, $B$, $C$ eta $D$ behagarriak EPR paradoxa azaltzeko erabili genituen dadoetan oinarrituko ditugu. $A$ eta $B$ Aliziak behatuko ditu bere A dadoan, eta $C$ eta $D$ Beñatek behatuko ditu bere B dadoan. Begiratzen duten aurpegian zenbaki bikoitia dagoela neurtzen badute, neurketaren emaitza 1 dela esango dugu, eta bakoitia dagoela behatzen badute, neurketaren emaitza -1 dela. Aurpegi bakoitzean zenbaki bikoiti ala bakoitia egon daitekeenez, behaketen emaitza posible bakarrak 1 eta -1 dira.

Kasu honetan, baina, dadoen adibidea nolabait aldatuko dugu. Orain arteko dadoak eta euren aurpegietako zenbakiak elektroiaren spina ordezkatzeko erabili ditugu, adibide konkretuagoak izateko, elektroien spina oso ezaugarri abstraktua baita. Elektroien espina, aldiz, edozein ardatzetan neurtu daiteke, baita diagonaletan ere. Gure dadoak aldatuko ditugu honakoa esanez: dadoek ez dituzte 6 aurpegi bakarrik, edozein norabidetatik begiratuta aurpegi bat izango du eta bertan zenbaki bikoiti ala bakoiti bat izango du.

Aliziak egingo duen $A$ behaketa, dadoaren goiko aurpegian ze zenbaki dagoen neurtzea izango da. Aurreko blog sarreran $G$ matrizeaz irudikatu genuen behagarri hau. Aliziak $B$ behaketa egiten duenean, eskuineko aurpegian zein zenbaki dagoen neurtuko du, aurreko blog sarreran $E$ matrizeaz adierazi genuena. Beraz, Aliziaren behagarriak honakoan izango dira ($A$ superindizeak behagarriak Aliziarenak direla adierazten du):

$$A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)^A \;\;\; B=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)^A$$

Beñatek ardatz diagonaletatik egingo ditu bere behaketak, $C$ behaketa behera eta ezkerrera begira dagoen ardatzetik egingo du, eta $D$ behaketa gora eta ezkerra begira dagoen ardatzetik. Behagarri hauek $G$ eta $E$ behagarrien baitan adieraz ditzakegu, bi bektore ortonormaletatik beraien arteko bektore diagonal normalizatua lortu daitekeen bezala, eta honako matrizeez adierazi ahal izango ditugu ($B$ superindizeak behagarriak Beñatenak direla adierazten du):

$$C = \frac{1}{\sqrt 2}(-G-E)=\frac{1}{\sqrt 2}\left(\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)^B$$
$$D = \frac{1}{\sqrt 2}(G-E)=\frac{1}{\sqrt 2}\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{array}\right)^B$$

Hemen norbaitek esan dezake: baina $G$ eta $E$ behagarrien emaitza posibleak 1 eta -1 badira, orduan $C$ eta $D$ behagarrienak $\pm \sqrt{2}$ izatera irits daitezke! Lehen begirada batean hala dirudi, baina ez da hala. Mekanika kuantikoan, behagarri batek izan ditzakeen emaitza posibleak, behagarri horren autobaloreek zehazten dituzte (matrizen kasuan, $C$ matrize baten autobaloreak $C \textbf{v} = \lambda \textbf{v}$ ekuazioa betetzen duten $\lambda$ zenbakiak dira, $\textbf{v}$ bektore bat izanik), eta bai $C$ eta bai $D$ matrizeen autobaloreak 1 eta -1 dira.

Behaketa guzti hauek euren artean independienteak dira. Behagarri bat neurtzeak ez du beste behagarri baten emaitzetan eragiten. Hau EPR paradoxan azaldu genuenaren kasu bera da: Beñat eta Alizia artean informazio klasikorik bidaltzen ez den bitartean, bakoitzak ez daki besteak jada bere neurketa egina duen ala ez, eta beraz behaketa independiente bezala hartu daitezke. Beraz, kasu klasikoan ezarri ditugun badintza berberak betetzen dituzte behagarri guztiek.

Mekanika kuantikoan, behagarri baten neurketen batazbesteko balioa $\left< A \right>$ honela adierazten da Dirac notazioaz: $\left< A \right> = \left< \Psi \left| A \right| \Psi \right>$. Notazio abstraktu honen ordez gure matrize notazioa erabiltzen badugu, eta gure $\left| \Psi \right>$ egoera $\textbf{v}$ bektoreaz adierazten badugu, orduan honela adieraziko genuke:

$$\left< A \right> = \textbf{v}^\textbf{T} A \textbf{v}$$

non $\textbf{v}^\textbf{T}$, $\textbf{v}$ bektorearen iraulia den.

Gure $\left| \Psi \right> \equiv \textbf{v}$ egoera definitzea falta zaigu. Lehen esan bezela, gainezarpen eta elkartze kuantikoa dituen egoera bat erabiliko dugu:

$$\left|\Psi\right>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left| \uparrow^{A}_{bik} \right> \left| \uparrow^{B}_{bak} \right> - \left| \uparrow^{A}_{bak} \right> \left| \uparrow^{B}_{bik} \right>\right)$$

Honek esan nahi du Aliziaren dadoa gainezarpen kuantikoan dagoela, eta %50eko probabilitatez zenbaki bikoitia ala bakoitia ikusiko duela goiko aurpegian. Eta, gainera, Aliziak bikoitia ikusten duen kasuetan Beñatek bakoitia ikusiko du, eta alderantziz. Ikusi genuen bezala, bektore moduan adierazita egoera hauek honela jarri daitezke:

$$\left| \uparrow_{bik} \right>=\left(\begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right) \;\;\; \left| \uparrow_{bak} \right>=\left(\begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array}\right)$$

Aliziari dagozkion egoera eta behagarriek $A$ superindizea izango dute, eta Beñatenek $B$. Matrize eta bektoreekin lan egitean, $A$ superindizedun elementuak euren artean bidertuko dira, eta $B$ dutenak euren artean. Amaieran zenbaki eskalarrekin gaudenean euren artean ere bidertu ahalko ditugu. Egiatan, biderketa tentsorialekin lanean ari gara, baina superindizeak erabiliz argiago geratuko da. Gogoratu gure behagarri osoa $AC-AD+BC+BD$ dela eta bere batazbestekoa kalkulatu nahi dugula, baina espresio luzeegiak ez erabiltzearren, kalkulua lau zatitan egingo dugu eta ondoren laurak batu.

$$\left< AC \right> = \textbf{v}^\textbf{T} AC \textbf{v} = \frac{1}{\sqrt 2} \left( \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}\right)^B - \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right)^B \right) \cdot \\ \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)^A \frac{1}{\sqrt 2} \left(\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)^B \frac{1}{\sqrt 2} \left( \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array}\right)^B - \left( \begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right)^B \right) = \\ \frac{1}{2\sqrt 2} \left( \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}\right)^B - \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right)^B \right) \cdot \\ \left( \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} -1 \\ 1 \end{array}\right)^B - \left( \begin{array}{cc} 0 \\ -1 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} -1 \\ -1 \end{array}\right)^B \right) = \\ \frac{1}{2\sqrt 2} \left( 1^A 1^B - 0^A (-1)^B - 0^A (-1)^B + (-1)^A (-1)^B \right) = \\ \frac{1}{2\sqrt 2}(1+1) = \frac{1}{\sqrt 2}$$

$$\left< AD \right> = \textbf{v}^\textbf{T} AD \textbf{v} = \textbf{v}^\textbf{T} \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)^A \frac{1}{\sqrt 2} \left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{array}\right)^B \frac{1}{\sqrt 2} \left( \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array}\right)^B - \left( \begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right)^B \right) = \\ \frac{1}{2} \textbf{v}^\textbf{T} \left( \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} -1 \\ -1 \end{array}\right)^B - \left( \begin{array}{cc} 0 \\ -1 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} 1 \\ -1 \end{array}\right)^B \right) = \\ \frac{1}{2\sqrt 2} \left( 1^A(-1)^B +(-1)^A 1^B \right) = \frac{-1}{\sqrt 2}$$

$$\left< BC \right> = \textbf{v}^\textbf{T} BC \textbf{v} = \textbf{v}^\textbf{T} \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)^A \frac{1}{\sqrt 2} \left(\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)^B \frac{1}{\sqrt 2} \left( \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array}\right)^B - \left( \begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right)^B \right) = \\ \frac{1}{2} \textbf{v}^\textbf{T} \left( \left( \begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} -1 \\ 1 \end{array}\right)^B - \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} -1 \\ -1 \end{array}\right)^B \right) = \\ \frac{1}{2\sqrt 2} \left( -1^A(-1)^B -1^A (-1)^B \right) = \frac{1}{\sqrt 2}$$

$$\left< BD \right> = \textbf{v}^\textbf{T} BD \textbf{v} = \textbf{v}^\textbf{T} \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)^A \frac{1}{\sqrt 2} \left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{array}\right)^B \frac{1}{\sqrt 2} \left( \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array}\right)^B - \left( \begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right)^B \right) = \\ \frac{1}{2} \textbf{v}^\textbf{T} \left( \left( \begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} -1 \\ -1 \end{array}\right)^B - \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right) ^A \left(\begin{array}{cc} 1 \\ -1 \end{array}\right)^B \right) = \\ \frac{1}{2\sqrt 2} \left( -1^A(-1)^B -1^A (-1)^B \right) = \frac{1}{\sqrt 2}$$

Eta amaitzeko, laurak elkartuta:

$$\left< AC \right> - \left< AD \right> + \left< BC \right> + \left< BD \right> = \frac{1}{\sqrt 2} - \frac{-1}{\sqrt 2} + \frac{1}{\sqrt 2} + \frac{1}{\sqrt 2} = \frac{4}{\sqrt 2} = 2\sqrt 2$$

Mundu kuantikoko esperimentu honen emaitza $2\sqrt 2$ da, mundu klasikoko goiko muga baina handiagoa, eta beraz Bell desberdintza puskatzen du.