Ziurgabetasun printzipioa matematikoki

Aurreko batean ziurgabetasun printzipioa kualitatiboki azaldu genuen, baina gai izango al ginateke printzipio bera kuantitatiboki azaltzeko? Fisika kuantikoaren matematika abstraktua zertxobait sinplifikatu beharko dugu, baina iritsiko gara ondorio nagusietara.

Erlatibitate bereziaren kasuan azaldu genuen nola bere emaitza nagusiak oso oinarrizko printzipiotatik eta trigonometria apur batekin lor zitezkeen. Fisika kuantikoaren kasuan ezinezkoa zaigu azalpen kuantitatiboak ematea matematika abstraktua erabili gabe. Nola nahi ere, fisika kuantikoan erabili ohi den matematika nahiko xinplea da, nahiz eta oso abstraktua izan.

Ziurgabetasun printzipioaren atzean dagoen matematika azaltzen saiatuko gara. Lehenik eszenatokia aurkeztuko dugu eta ondoren aktoreak. Eszenatokia Hilbert espazioa deritzon bektore eremu berezi bat da. Bektore eremuak ulertzeko, lehenik eremu eskalarrak ikus ditzakegu, ezagunagoak bait zaizkigu. Telebistako eguraldi emanaldietan, isobara mapa bat ikusten dugun bakoitzean eremu eskalar bat erakusten zaigu. Mapa bateko posizio bakoitzari zenbaki bat egokitzen zaio: isobara mapen kasuan presio bat.

Bektore eremuak antzeko zerbait dira, baina orain posizio bakoitzari zenbaki baten ordez bektore bat egokitzen zaio. Bektoreak tamaina bat eta norantza bat duten objektuak dira, eta gezi bezala irudika ditzakegu. Eguraldi saioetan batzuetan haizearen mapak erakusten zaizkigunean, horiek bektore eremuak dira posizio bakoitzean haizeak indar bat eta norantza bat bait du.

Mekanika kuantikoaren jolastoki den Hilbert espazioa bektore eremu baten antzeko zerbait da. Eta, nortzuk dira jolastoki horretan jolasean dabiltzan aktoreak? Bada, bi nagusi aipatuko ditugu: egoerak eta behagarriak.

Egoera batek une bakoitzean sistema dagoen egoera deskribatzen du, eta matematikoki bektore bezala irudika dezakegu. Bektoreak har ditzaken balio ezberdinek sistema bat egon daiteken egoera ezberdinak adierazten dituzte. Behagarriak guk neurtu edo behatu ditzakegun propietate fisikoak dira: hala nola posizioa, abiadura, eta abar, eta matematikoki matrize bezala irudika ditzakegu.

Behagarri bat neurtzen dugunean, adibidez bilar-bola baten posizioa, behagarri horri dagokion matrizea erabili behar dugu. Neurketa bat egitean, behagarri horren matrizea sistemaren egoera adierazten duen bektoreari biderkatzen zaio, eta biderkaketaren emaitzatzat izango dugun bektore berria sistemaren egoera berria izango da.

Adibide bezala, demagun $ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0\ \end{array}\right) $ bektoredun egoera dugula. Sistema honengan behagarri bat neurtu nahi dugu, eta demagun bere matrizea $ \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) $ dela. Orduan, neurketa egitean sistemaren egoera aldatu egingo da (guk gure emaitza jasotzeaz gain), hurrengo biderketak adierazten duen moduan:

\[ \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right) \]

Hau da, amaierako bektorea hasierakoaren ezberdina denez, esan dezakegu gure sistema neurtze hutsak sistemaren egoera aldatu duela. Hau da aurreko blog sarreran aipatzen genuena eta ziurgabetasun printzipioaren atzean dagoena: behagarri bat neurtzeak sistema aldatzen du eta aurretik eginak genituen neurketak baliogabetzen ditu (aurreko neurketen behagarriak oraingoarekin ez-bateragarriak baziren behintzat, eta posizioa eta abiadura ez-bateragarriak dira).

Beste modu batera, matrizeekin bakarrik ere, ikusi daiteke efektu hau. Demagun posizioaren matrizea $ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) $ dela; benetan ez du horrelako itxurarik, baina adibide bezala erabil dezakegu. Demagun baita ere abiaduraren matrizea $ B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) $ dela. Orain berriro Werner eta Emmy jarriko ditugu neurketak egiten: Wernerrek posizioa neurtuko du eta Emmyk abiadura. Lehenengo Wernerrek posizioa eta ondoren Emmyk abiadura neurtzen badute, sistemak jasango duten aldaketa osoa $BA$ matrizeak emanikoa izango da (lehenago egiten den neurketaren matrizea eskuinean jartzen da). Lehenik Emmyk abiadura neurtuko balu eta ondoren Wernerrek posizioa, orduan $AB$ izango litzateke. Berdinak al dira?

\[ BA=\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\-1 & 0\end{array}\right) \]

 \[ AB=\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0 & -1\\1 & 0\end{array}\right)\]

Emaitzak ez dira berdinak! Honek esan nahi du sistemarentzat ez dela gauza bera lehenengo posizioa eta ondoren abiadura neurtzea, edo lehenengo abiadura eta ondoren posizioa. Eta berriro ere, hau da ziurgabetasun printzipioaren atzean dagoen matematika. Ze ordenetan bidertu inporta zaien matrize pareari matrize ez-konmutagarriak deitzen zaie. Eta era berean, orain arte ez-bateragarri deitu diegun behagarri pareari behagarri ez-konmutagarri deitzen zaie. Abiadura eta posizioa ez-konmutagarriak dira. $AB$ eta $BA$ arteko diferentzia da, gainera, bi behagarrien balioetan lortu dezakegun zehaztasuna mugatuko duena. Une batean jakin dezakegun posizioaren ziurgabetasuna $z_A$ bada, eta une berean jakin dezakegun abiaduraren ziurgabetasuna $z_B$, orduan betetzen da (faktore konstante batzuk arbuiatuz):

\[ z_{A}z_{B}\geq \left|AB-BA\right|^{2} \]

Ezinezkoa da ez-konmutagarriak diren bi behagarri zehaztasun osoz une berean jakitea, hala balitz ziurgabetasunak zero lirateke eta ez litzateke ekuazioko konparaketa beteko. Ekuazioak erakusten digu, gainera, nola orduan eta zehaztasun gehiagoz jakin posizioa, orduan eta ziurgabetasun handiagoa izango dugula bere abiaduran. Hau da, posizioa zehaztasun handiz badakigu, ideiarik ere ez dugu izango bilar bolaren abiadura zein den!