Bikien paradoxa eta denboraren dilatazioa

20 urteko bikiak ditugu: bat etxean geratzen da eta besteak espazioan zehar bidaiatzeari ekiten dio. Etxera itzultzean 40 urte ditu. Etxean geratu denak, berriz, 60. Einsteinen erlatibitate bereziaren ondorioetako bat da, eta bere zergatia ulertzea uste baina errazagoa da. Ikus dezagun!

Bikien paradoxak txundigarria dirudien arren, bera ulertzea eta denbora diferentzien jatorria aurkitzea benetan erraza da! Oso oinarrizko bi printzipio, eta trigonometria apur bat besterik ez da behar. Denboraren dilatazioa edo zabalkuntzaren kontzeptua ikusiko dugu, hau baita bikien paradoxaren atzean dagoen arrazoi bakarra. Geldi dagoen pertsonak ikusten du nola mugimenduan dagoen pertsonaren ordularia motelago dabilen, eta honek eragiten du etxean geratu den bikia gehiago zahartzea espazioan zehar ibili dena baino. Batzuk gogoratuko zarete Interstellar filmean nola espaziontzian geratzen den Romilly 23 urte zahartzen den besteak orduerdiko misioa egin bitartean; hau beste efektu bat da, grabitateak eragiten duen denbora dilatazioarena eta erlatibitate orokorraren teoriak azaltzen duena. Guk aztertuko duguna abiadura erlatiboak eragiten duen denbora dilatazioa da, askoz ere xinpleagoa dena eta erlatibitate bereziak azaltzen duena.

Bi printzipio

Oso oinarrizko bi printzipioren gainean eraikia da erlatibitate berezia. Alde batetik, naturaren legeak (lege fisikoak) berdinak dira bi pertsona ezberdinentzat, elkarren artean abiadura konstantez mugitzen ari badira ere. Hau da, tren geltokian zutik bazaude, edo tren barnean 100 km/h konstantera, esperimentu guztiek emaitza bera izango dute. Beste modu batean esanda, tren barruan bazaude leiho denak itxita, ezingo duzu jakin ea trena geldirik edo mugimenduan dagoen; ez dago esperimenturik horretan lagunduko zaituenik. Efektu hau ohikoa da tren geltokitan jasatea: tren barnean bazaude eta leihotik ondoko trenbideko trena ikusten baduzu eta hau pixkanaka mugitzen ikusi, ez dago esaterik zure trena edo bestea den poliki-poliki martxan jarri dena.

Bigarren printzipioa argiaren abiadura konstantearena da, 300.000 km/s hutsean. Konstante izate honek ez du soilik esan nahi Eibarren eta Elgoibarren abiadura berdina duenik, ezta ere atzo eta gaur abiadura berdina duenik. Baizik eta elkarren artean abiadura konstantez mugitzen diren bi pertsonek abiadura bera neurtzen dutela argiarentzat.

Bigarren hau ez da lehen printzipioa bezain intuitiboa, ez da eguneroko objektuekin gertatzen, eta hobeto ikusteko Werner eta Emmy laguntzera etorri zaizkigu. Werner tren geltokian zutik badago eta tren bat 100 km/h-ra pasatzen bada, Wernerrek neurketak egiten baditu  ondorioztatuko du trena 100 km/h-ra doala. Emmyk berriz, bizikletan 40 km/h-ra badoa trenaren norantza berean eta neurketak egiten baditu, trena 60 km/h-ra doala ondorioztatuko du. Argiarekin ez da hau gertatzen, biek ala biek abiadura bera neurtuko dute argiarentzat: 300.000 km/s.

Argiaren abiaduraren konstantziaren aurkikuntza 1887ko Micheson-Morley esperimentuen emaitzetan oinarritu zen. Esperimentu hauek, nolabait, Lurrak eterrean zehar duen abiadura neurtu nahi zuten. Ondoren ikusi zen eterra ez dela benetan existitzen. Baina zer neurtu nahi zen ulertzeko ikus dezagun adibide bat. Demagun neguan Lurrak eguzkiaren inguruan egiten duen orbita dela eta, Sirius izarrera gerturatzen ari dela. Siriusetik iristen zaigun argiaren abiadura neurtu dezakegu. Ondoren, udan, Lurra orbitaren beste aldean egongo da eta beraz Siriusetik urruntzen egongo da. Berriro bertatik datorren argiaren abiadura neurtuko bagenu, Lurraren translazioaren abiaduraren araberako diferentzia bat ikusi beharko genuke neguko emaitzarekin alderatuta. Baina ez da hala, kasu guztietan argiaren abiadura bera neurtzen da, bere konstantzia absolutua baita.

Denboraren dilatazioa

Behin printzipioak ezarrita, oinarrizko trigonometria apur bat besterik ez dugu behar bikien paradoxa azaltzeko. Kalkuluak errazteko, argiaren abiadura 300.000 km/s-koa izan beharrean, c=2 m/s-koa dela pentsatuko dugu: ondorioak berberak izango dira. 

Demagun Emmy 1,2 m/s-ra doan tren baten barruan doala. Lehen printzipioagatik, Emmyk ez du zertan jakin trena martxan dagoenik eta bere esperimentua bere etxeko egongelan balego bezala egin dezake. Linterna bat treneko sapaira begira jarri eta argia piztu du. Sapaian ispilu bat dago eta beraz argiak sapaira joan-etorria egingo du. Emmyk linterna piztu duenetik argi izpiak bueltan beragana itzuli direneko denbora tartea neurtu du. Sapaia linternatik 1 m-ra badago, argiak guztira 2 m egin ditu, eta bere abiadura 2 m/s-koa denez, Emmyk segundo 1 pasatu dela neurtu du.

Werner trenbide alboan zutik zegoen Emmyk bere esperimentua egin bitartean, eta barruan gertatu den guztia ikusi du. Berak ere, bere ordularia erabilita, Emmyk linterna piztu duenetik argi izpiak sapaira joan eta bueltan Emmygana iritsi direneko denbora neurtu du. Ze denbora neurtu ote du?

Trena eskuinera doa 1,2 m/s-ko abiaduraz, eta beraz Wernerren ikuspuntutik argiak ez du ibilbide bertikala egingo: argia Emmygana bueltan iristerako, trena linterna piztu duen momentuan baino eskuinerago dago, eta beraz argiak ibilbide diagonala egin du. Linternatik trenaren sapaira dagoen distantzia metro 1 da Wernerrentzat ere, eta ibilbidea diagonala izan denez, Wernerren ikuspuntutik argi izpiek ibilbide luzeagoa egin behar izan dute linternatik irten eta bueltan Emmygana iritsi diren arte. Baina argiaren abiadura konstantea eta berbera bada Emmy eta Wernerrentzat, 2 m/s, eta Wernerren ikuspuntutik bide luzeagoa egin behar izan badu, bere ordularian denbora gehiago pasatu da! Zenbat?

Argiaren abiadura, bere ibilbide diagonalean, 2 m/s da. Bere konponente horizontala trenaren abiaduraren berdina da, Emmyren berdina, argia beti Emmyren bertikalean baitago Wenerrentzat, eta beraz 1,2 m/s. Bere konponente bertikala vy Pitagorasen teoremarekin atera dezakegu: 2²=1,2²+v_y². Lortzen den emaitza v_y=1,6 m/s da. Abiadura hau konponente bertikala da, eta norantza bertikalean argi izpiek 2 m egin behar dituzte: metro bat ispilura eta beste bat bueltan, beraz Wernerrek neurtuko duen denbora 2/1,6=1,25 segundo dira. Emmyk bi gertaera jakinen artean (linterna piztu eta argia beregana itzuli) segundo 1 neurtu du, eta Wernerrek gertaera berberen artean 1,25 segundo neurtu ditu. Hortxe denboraren dilatazioa! Emmy espaziuntzi batean urrutira bidaliko bagenu eta ondoren bueltan etorri, modu berberean gertatu ahalko litzateke Werner 40 urte zahartzea eta Emmy 20 besterik ez: bikiaren paradoxa beraz!

Kontuz, ez gara besterik gabe esaten ari Emmyk eta Wernerrek bi gauza ezberdin neurtu eta emaitza ezberdinak neurtu dituztenik. Gauza bera neurtzen ari dira, hasierako eta bukaerako gertaerak berberak dira bientzat. Ez gara esaten ari ere Wernerri ordularia izorratu zaionik. Errealitatearen berezko propietate bat, denbora, ezberdin igarotzen ikusten du Wernerrek bere buruarengan eta Emmyrengan. Baina honek ez du esan nahi Emmyk bere 20 urte horietan bizipen gutxiago izango dituenik Wernerrek bere 20 urtetan baino. Bientzat segundoek eta urteek iraupen bera dute eta bizipen kopuru bera izango dute. Aldatzen dena da Wernerrek Emmyren ordulariari begiratzen badio, berea baino geldoago doala ikusten duela: Wernerrentzat tren barruan gertatzen den guztia polikiago gertatzen dela ikusten du, kamera geldoan bezala. Eta ez da irudipen bat bakarrik, Wernerren ikuspuntutik, benetan denbora geldoago igarotzen da tren barruan. Denbora erlatiboa da.

Espresio orokorra

Matematika gogoko duzuenontzat, denboraren dilatazioaren espresio orokorra erraz atera genezake aurreko adibidetik. Argiaren abiadura $c$ da, trenaren abiadura $v$, sapaiaren altuera $h$, Emmyk neurtzen duen denbora tartea $\triangle t$ eta Wernerrek neurtzen duena $\triangle t’$.

Emmyk neurtuko duen denbora tartea ateratzea erraza da. Argiaren abiadura $c$ da eta bete beharreko distantzia $2h$: $\triangle t=2h/c$.

Wernerrentzat lehenik argiaren abiaduraren konponente bertikala atera dezakegu, lehen bezala Pitagoras erabiliz: $c^2=v^2+v_y^2$:

\[v_y = \sqrt{c^2-v^2} \]

Berak neurtutako denbora konponente bertikaletatik atera dezakegu: $\triangle t’=2h/v_y$:

\[\triangle t'=\frac{2h}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}\]

Eta bi denborak elkarren artean zatitzen baditugu, $\triangle t’/\triangle t$:

\[\frac{\triangle t'}{\triangle t}=\frac{\bfrac{2h}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}}{\bfrac{2h}{c}}=\frac{c}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\]

Eta beraz:

\[\triangle t'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\triangle t\]

Hau da denboraren dilatazioaren espresioa, eta bi behatzailek bi gertaera berdinen arteko denbora neurtuz gero lortuko dituzten emaitzen arteko erlazioa adierazten du, behatzaileen arteko v abiaduraren arabera.

Hurrengorako

Erlatibitate bereziaren teorian denbora dilatatzen den bezalaxe, luzerak uzkurtu egiten dira. Adibide oso antzekoak erabilita ulertu daiteke efektu hau, eta emaitzak ere oso antzekoak dira. Baina badago beste efektu bat, bi hauen konbinazioak ematen duena, gure ustez oraindik ere txundigarriagoa dena: aldiberekotasunaren edo simultaneitatearen erlatibitatea deritzo. Hau beste baterako utziko dugu, baina ondo prestatuak etorri, helduleku sendoekin!