Gainezarpen kuantikoa

Fisika kuantikoko ezaugarri nagusietako bat Egoera Gainezarpena da. Honi esker ulertu ahal izango ditugu, formalitate apur batez, Schrödingerren katuaren paradoxa, Bell teorema, edo mekanika kuantikoaren beste hainbat ondorio nagusi. Mekanika kuantikoko beste hainbat ezaugarri bezala, matematika abstraktu baina oso arruntez ondo uler daiteke.

Gainezarpen Kuantikoa (ingelesez quantum superposition, edo gazteleraz superposición cuántica) da sistema baten egoera bat non bere ezaugarri fisikoek balio jakin bat ez duten. Gainezarpen honi esker esan genezake, ziurgabetasun printzipioari buruzko gure blog sarreretan esaten genuen bezala, objektu baten posizioak edo abiadurak, bietako batek, balio jakinik ez duela.

Baina posizioa eta abiadura ez dira behagarri aproposak gainezarpen kuantikoa ulertzeko. Magnitude fisiko jarraiak direnez (edozein balio posible izan dezakete) matematikoki aztertzeko zail xamarrak dira. Badaude behagarri aproposago batzu, neurtzen den magnitude fisikoak bi balio ezberdin besterik hartu ez ditzakeenak. "Spin" kuantiko deitzen zaio ezaugarri hau duen magnitude fisiko nagusiari, baina abstraktu xamarra denez, guk beste behagarri bat erabiliko dugu, geuk asmatua baina ulertzeko erraza dena, eta spinaren baliokide dena: ea dado baten aurpegietan zenbaki bakoitiak edo bikoitiak dauden.

6 aurpegiko dado normalek ezaugarri bat dute: kontrako aldean dauden bi aurpegietako zenbakien baturak 7 ematen du. Honek esan nahi du aurpegi batek zenbaki bikoitia badu, bere aurkako aurpegiak zenbaki bakoitia duela. Adibidez goian dagoen aurpegiak 6 bat badu, beheran dagoenak 1 bat izango du.

 

Bi behagarri, edo neurtu ditzakegun ezaugarri, definituko ditugu: ea goiko aurpegiak ze zenbaki mota (bikoitia edo bakoitia) duen, $ G $ bezala definituko duguna, eta ea eskuineko aurpegiak ze zenbaki mota duen, $ E $ bezala definituko duguna. Behagarri hauek matematikoki matrize bezala aurkezten baditugu, honelako matrizeak izango ditugu:

\[ G=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) \;\;\; E=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \]

Bi matrize hauek Pauli matrizeetako bi dira, Wolfgang Pauli fisikariaren izena dutenak. Pauli matrizeak XX mendearen hasieran aurkitu zituzten spin kuantikoa delakoa ikertzen ari zirelarik.

Ikusi genuen bezala, $ GE=EG $ betetzen ez denez, bi matrize edo bi behagarri hauek ez-konmutagarriak dira: posizioa eta abiadurarekin gertatzen den bezala, ezingo ditugu bi ezaugarrien balioak une berean jakin. Hau da, goiko aurpegian zenbaki bikoitia badago, ez dugu jakiterik izango zenbaki bikoiti ala bakoitia dagoen eskuineko aurpegian. Efektu hau ziurgabetasun printzipioarekin azaldu genuen, ezaugarri bat neurtzeak beste behagarrian eragiten du.

Orain, dadoak izan ditzakeen 4 egoera posibleak definituko ditugu. Aurrekoan esan bezala, egoerak matematikoki bektore bezala irudika ditzakegu, baina askotan Dirac notazioa erabiltzen da beraiek definitzeko. Goiko aurpegian zenbaki bikoitia badago $ \left| \uparrow_{bik} \right> $ egoeran dagoela esango dugu, bakoitia badago $ \left| \uparrow_{bak} \right> $, eskuineko aurpegian bikoitia badago $ \left| \rightarrow_{bik} \right> $, eta bakoitia badago $ \left| \rightarrow_{bak} \right> $.

Goiko aurpegian zer dagoen $ G $ neurtzen badugu, $ \left| \uparrow_{bik} \right> $ edo $ \left| \uparrow_{bak} \right> $ bi egoera posibleetako bat izango dugu emaitzatzat. Eskuineko aurpegian zer dagoen $ E $ neurtzen badugu berriz, $ \left| \rightarrow_{bik} \right> $ edo $ \left| \rightarrow_{bak} \right> $ bi egoeratako bat lortuko dugu. Hilbert espazioen eta mekanika kuantikoaren oinarrizko ezaugarriak erabilita, $G$ eta $ E $ matrizeetatik abiatuta gure lau egoeren errepresentazio bektoriala lortu genezake, honako emaitzekin:

\[ \left| \uparrow_{bik} \right>=\left(\begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right) \;\;\; \left| \uparrow_{bak} \right>=\left(\begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array}\right) \]

\[ \left| \rightarrow_{bik} \right>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array}\right) \;\;\; \left| \rightarrow_{bak} \right>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 \\ -1 \end{array}\right) \]

Erabiltzen ari garen matematika oinarrizko algebra lineala besterik ez da, nahiz eta Dirac notazioak gauzak zertxobait zaildu. Orain, demagun badakigula dadoaren goiko aurpegian zenbaki bikoitia dagoela, bere egoera $ \left| \uparrow_{bik} \right> $ izango da beraz. Eta galdetu genezake: lortu al genezake egoera hau eskuineko aurpegiko egoeren baitan? Bada, matrizeetan fijatuz, ondoko berdinketa betetzen dela ikus dezakegu:

\[ \left| \uparrow_{bik} \right>=\left(\begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array}\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 \\ -1 \end{array}\right)\right] \]

Hau da, Dirac notazioa erabiliz:

\[ \left| \uparrow_{bik} \right>= \frac{1}{\sqrt{2}}\left| \rightarrow_{bik} \right> + \frac{1}{\sqrt{2}}\left| \rightarrow_{bak} \right> \]

Zer esan nahi du honek? Hemen dago gainezarpen kuantikoaren funtsa. Ekuazio honek esan nahi duena da goiko aurpegian zenbaki bikoitia dagoela baldin badakigu, orduan eskuineko aurpegiari dagokionez bi egoeratan dagoela: zenbaki bikoitia du eta zenbaki bakoitia du. Goiko aurpegian zenbaki bikoitia egotea, eskuinekoan bai bikoitia eta bai bakoitia egotearen gainezarpena da. Baina kontuz! Egoera honetatik abiatuta ezin dugu eskuineko aurpegian zer dagoen begiratu, bikoitia dagoela ikusi, eta adierazi "bai goiko eta bai eskuineko aurpegian zenbaki bikoitiak daude", eskuineko aurpegia neurtzeak aurretik goiko aurpegiari buruz genuen informazioa baliogabezten baitu. Behagarri ez-konmutagarriak direnez, ezin dugu bi aurpegietako informazio ziurra izan. Eta egoerei buruz berriro errepikatuko dugu: ekuazioak ez du adierazten soilik bi aukera daudela eskuineko aurpegiari dagokionez, baizik eta sistema benetan bi egoera horien (eskuinean bikoitia eta eskuinean bakoitia) gainezarpenean dagoela. Gainezarpen honek errealitatean zer esan nahi duen, fisika kuantikoaren inguruko interpretazioen baitan dago: Kopenhage interpretazioa, mundu askoren interpretazioa, eta abar... Esan dezakeguna da sistema gainezarpen kuantikoan dagoela eta mekanika kuantikoaren matematikak ahalbideratzen digula egoera horrekin lan egitea eta ondoren egin ditzakegun esperimentuen emaitzak aurrikustea.

Goiko aurpegian bikoitia dagoela baldin badakigu, zeintzu izango dira hurrengo neurketan eskuineko aurpegian bikoitia edo bakoitia aurkitzearen probabilitateak? Bada, probabilitate hauek, aurreko ekuazioan eskuineko aurpegien egoerek duten faktoreen karratuek emango dizkigute. Kasu honetan karratu hauek $ 1/2 $ dira, eta beraz eskuineko aurpegian bai bikoitia eta bai bakoitia aurkitzearen probabilitatea %50ekoa izango da. Hemen dago mekanika kuantikoak izaera probabilistikoa duela esaten denaren oinarria. Egoeren arteko gainezarpenaren eta neurketen emaitzen probabilitateen arteko erlazioari Born Araua deritzo.

%50eko probabilitate honek zerikusi handia du Schrödingerren katuaren paradoxa famatuarekin, han ere katua bizirik eta hilik egoeren arteko gainezarpen kuantikoan agertzen baita, askotan bakoitzarentzat %50eko probabilitateaz. Behin gainezarpen kuantikoa barneratuta, gai izango gara mekanika kuantikoaren ondorio nagusiak ulertzeko, hala nola Schröndingerren katua, bi zirrikituen esperimentua, edo Bell teoremak, zeinak mundu erreala mekanika kuantikoaren legepean edo fisika klasikoaren legepean mugitzen den neurtzeko aukera ematen duen. Aurkeztuko dugu Bell teorema hurrengo blog sarrera batean, modu kuantitatibo xinple batean erakusten baitu nola gure intuizio klasikoa eta mekanika kuantikoa ez datozen bat.