Nortonen domoa eta mekanika klasikoaren determinismoa

Mekanika klasikoa beti hartu izan da deterministatzat. Haserako baldintzak jakinda, sistemaren eboluzioa ziurtasun osoz jakin zenezake. Hala ez? Hona hemen sistema bat uste hau kolokan jarri zuena lehen mailako fisikarien artean ere.

Ahaztu Einsteinen erlatibitatearen teoria, ahaztu fisika kuantikoa, ahaztu argia, elektrizitatea eta elektromagnetismoa, ahaztu hidrodinamika eta gasak. Geratzen dena mekanika klasikoa edo newtondarra da, Newtonen hiru legeak eta grabitazio newtondarra, eguneroko esperientziak: sagarra zuhaitzetik erortzen, plano inklinatuak, zaldiak gurdiei tiraka, malgukiak eta penduluak, ibilbide parabolikoak, Lurraren orbita. Hau da fisikarien paradisua: indarrak eta azelerazioak, masak eta bultzadak; ez dago erlatibitatearen paradoxarik, ez eta mekanika kuantikoaren matematika abstrakturik ere. Baina noizean behin sortzen da ideia berriren bat, mekanika klasikoa bera ere kolokan jartzen duena.

 

Hemen dakarkizuegun hau John Norton filosofari australiarrak proposatu zuen 2003an. Domo edo kupula bat dugu, marruskadurarik gabekoa, non bere erpinaren inguruan domoak beherantz duen kurbak erlazio konkretu bat betetzen duen, $h$ erpinetik beherantz dagoen altuera izanik eta $r$ erpinetik domoaren gainazalari jarraiz dagoen distantzia:

\[ h=\frac{2}{3g}r^{3/2} \]

Ez dugu sistema matematikoki sakonduko, baina analitikoki aztertuko bagenu ikusiko genuke bola erpinean (kupularen puntan) geldirik jarriko bagenu, sistemak bi modu ezberdinetako bilakaera izan dezakeela. Bilakaeretako bat bola mugagabeki bertan geldirik egotea izango litzateke; hau sistema metaegonkorretan ohikoa da: arkatz bat bere punta gainean zutik, pendulu bat egoera bertikalean baina goiko aldean zutik, bola bat mendi baten tontorrean, denek betetzen dute ezaugarri hau eta kanpo perturbaziorik egongo ez balitz (praktikan oso zaila dena) sistemek hala jarraituko lukete mugagabeki. Baina Nortonen domoak badu bigarren bilakaera posible bat, beste adibideek ez dutena: bola, nahiz eta erpinean geldirik egon zero azelerazioarekin, bat batean mugimenduan jar daiteke eta beherantz erori, perturbaziorik gabe eta edozein instantetan. Baina hau Newtonen lehen legearen aurka doa! Gainera, beherantz erortze hau edozein momentutan gerta daiteke eta, beraz, mekanika newtondarrak berezkotzat duen determinismoa galtzen da; nahiz eta hasierako baldintzak jakin, ez gara gai aurreikusteko bola noiz eroriko den beherantz.

Mekanika klasikoak badu beste ezaugarri bat. Denborarekiko simetrikoa da; hau da, sistemaren garapena bideoz grabatu eta atzeraka ikusiko bagenu, fisikaren legeak (newtonenak behinik behin) oso osorik beteko lirateke. Beste modu batean esanda, amaierako egoera jakinda asma genezake zein zen sistemaren hasierako egoera eta zein izan den bere bilakaera. Nortonen domoan dabilen bolaren mugimendua atzeraka aztertuz errazago ikusten da zer gertatzen ari den.

Bola bat jaurtitzen badugu domoaren azpialdetik gorantz, bola erpinera iritsiko da eta abiadura zehatz bat eman badiogu, justu erpinean geldirik geratuko da. Abiadura zehatz hori zenbatekoa den jakitea erraza da, energiaren kontserbazioa besterik ez dugu behar: erpinean geldirik duen energia potentzialaren berdina den energia zinetikoa behar dugu hasieran, eta hala ziurtatuko dugu erpinera zero abiaduraz iristen dela. Energia kontserbazioa dela eta, badirudi froga hau bera beste edozein domotan ere egin daitekeela erpin bat duten bitartean, esfera erdiaren formako domo batean adibidez. Ez da hala. Esfera erdiaren kasuan, bola erpinera zero abiaduraz iristeko denbora infinitu beharko du; ez da denbora finituan iritsiko. Beste kasu batzuetan nahiz eta erpinera zero abiadurarekin iritsi bertara iristen deneko azelerazioa ez da zertan zero izan, eta zero ez bada abiadura aldatu eta bola edo beste aldera pasa edo igo den bidetik bueltan eroriko da. Nortonen domoaren berezitasuna, abiadura zehatza emanez gero behetik gora erpinera zero abiadura eta zero azelerazioarekin denbora finituan iristen dela da, eta beraz bertan geratzen dela.

Baina behin gorako bidea aztertuta eta onartuta, hau da erpinean geldirik geratzen dela, bera grabatu eta bideoa atzeraka ikusten badugu, ikusiko dugu nola bola erabat geldi egotetik  bat batean beherantz eroriko den, kanpo perturbaziorik gabe. Hau da gorago azaldu duguna eta printzipioz sistema newtondarretan gertatu ezin dena.

Beraz, badirudi Nortonen domoak, erabat sistema newtondarra denak, edo determinismoa edo denboraren simetria, edo biak, apurtzen dituela. Hau, noski, ez da fisikarien gustuko, eta gutxiago filosofari batek idatzia bada. Modu ezberdinetan saiatu ziren bertako ondorioak baliogabetzen: batzuek zioten erpineko ekuazioek ez zituztela hainbat baldintza matematiko betetzen (baldintza nahiko konplexuak), besteek ekuazioak ondo aztertzeko azelerazioaren hurrengo deribatuak ere (jerk, jounce, eta abar direlakoak) kontuan hartu beharko liratekeela, eta horrek jada sistema ez-newtondar bihurtzen duela.

Beste fisikari batzuek jarrera pragmatikoagoa hartu zuten, eta zioten “mekanika klasikoa determinista ez dela? Eta? Errealitatea ez da mekanika klasikoan oinarritzen beraz niri bost”. Alde batetik, ez zitzaien arrazoirik falta, XX mendera arte mekanika klasikoan eta determinismoan sinesten zen, baina fisika kuantikoaren etorrerak determinismoa alde batera utzi zuen (eta baita denboraren simetria ere).

Mekanika kuantikoa erabiliko bagenu Nortonen domoa aztertzeko, ez legoke zalantzarik. Ziurgabetasun printzipioa dela eta, gure blogean azaldu genuen bezala, bolak ezin ditu une berean posizio eta abiadura jakinak izan. Hau da, ezin dugu inola ere esan bola erpinean geldirik dagoela. Mekanika kuantikoak ez digu horrelako baieztapen bat esaten uzten, beraz hortik abiatuta erabat deuseztatzen dira Nortonen ondorio guztiak.

Informazio gehiago nahi duenarentzat, hemen bi esteka bi fisikariren hausnarketetara. Lehenak jarrera pragmatikoa hartu zuen, bigarrenak azterketa sakonago bat egin zion:

https://motls.blogspot.com/2012/10/classical-physics-is-sometimes-more.html

https://blog.gruffdavies.com/2017/12/24/newtonian-physics-is-deterministic-sorry-norton/

 

Bibliografia:

"Causation as Folk Science," Philosophers' Imprint Vol. 3, No. 4