Un día vi una vaca: integrazioaren azalpena

“Un día vi una vaca vestida de uniforme”. Hala ikasi genuen askok integrazio teknika baten izena. Nahiz eta irakasgaia euskaraz izan, esaldi aproposa zen espresio matematikoa buruz ikasteko. Teknika bera, eta zergatik eta noiz erabili, erabateko misterioa zen. Argitu dezagun!

Matematiketan, funtzioen integrazioa gai zaila izan da betidanik. Integrazio teknika asko daude, baina ez da garbi egoten bakoitza ze kasutan erabili behar den. Teknika horietako bat zatikako integrazioa da, eta bere esaldi mnemoteknikoko lehen hizkiak erabiliz, hau da bere espresioa:

\[ \int udv=uv-\int vdu \] 

Horrela ikusita, ez da garbi geratzen zergatik funtzionatzen duen integralak ebazte aldera, ezta ere noiz erabiltzea komeni den. Modu bisualean bere esanahia ikusiz gero, berriz, ez du batere misteriorik!

Demagun integral zail xamar bat dugula ebazteko. Integral mugatuen emaitza, gogoratu, integral barnean dagoen funtzioaren eta $x$ ardatzaren artean dagoen azalera da. Adibide bezala $y=\ln x$ funtzioa erabiliko dugu, bere $x=1$ puntutik bere $x=e$ puntura arte. Integral honen emaitza, beheko irudiko A segmentu berdearen azalera izango da. Baina azalera hori lortzeko, $\ln x$ integratu beharra dugu, eta buruz gogoratzen ez badugu behintzat, ez da berehalako integrala.

Bisualki, berriz, badago A segmentu horren azalera neurtzeko beste modu askoz errazago bat. Irudiko A eta B segmentuek osatzen duten laukizuzenaren azalera kalkula dezakegu, eta ondoren B segmentuaren azalera kendu. Emaitza A segmentuaren azalera izango da. B segmentua definitzen duen funtzioa integratzea A-rena definitzen duena integratzea baina errazagoa bada, hasieran genuen funtzioa integratu gabe lortuko dugu azken emaitza.

Metodo bisual honekin kalkula dezagun gure azalera. Laukizuzenaren goiko eskuineko erpina $(e,1)$ puntua da, $x=e$ denean $\ln x=1$ betetzen delako. Beraz, A eta B barne hartzen dituen laukizuzenaren azalera $e\cdot 1=e$ izango da.

Orain B segmentuaren azalera behar dugu. Grafikoa 90º biratzen badugu, ardatzak ordezkatu eta $x$ ardatzari buelta eman, beheko grafika lortuko dugu. Orain integratu beharreko funtzioa lehengoaren alderantzizkoa da. Lehen $y=\ln x$ bazen, $x$ ebatsiz $x=e^y$ lortuko genuke, baina ardatzak ordezkatu ditugunez: $y=e^x$. B segmentuaren azalera funtzio berri honen integrala izango da, $x=0$ puntutik $x=1$ puntura.

 

\[
\int_{0}^{1}e^{x}dx=e^{x}\Biggr|_{0}^{1}=e-1
\]

B segmentuaren azalera $(e-1)$ da beraz. Eta laukizuzenarena $e$ zenez, bila gabiltzan A segmentuaren azalera laukizuzenarena ken B segmentuarena izango da:

\[ e-(e-1)=1 \]

Lortu nahi genuen azalera 1 da, eta baita $\ln x$ funtzioaren integral mugatuarena ere, $x=1$ puntutik $x=e$ puntura.

Eta zer zerikusi du integralak modu bisual honetan askatzeak, “un día vi una vaca” edo zatikako integrazioaren teknikarekin? Bada, teknika berbera dela! Hau da azken batean zatikako integrazioak egiten duena. Eskuin aldeko lehen terminoa, $uv$, laukizuzenaren azalera besterik ez da, behin integrazio mugak erabilita eskuinerago dagoen puntuak sortzen duen laukizuzenaren azalera ken ezkerrerago dagoen puntuaren laukizuzenarena eginda. Bigarren terminoa, $\int vdu$, berriz, B segmentuaren azalera besterik ez da.

Gure adibidea erabilita frogatu dezakegu ea benetan gauza bera den. $u=\ln x$ eta $dv=dx$ bezala definitzen ditugu, eta lehena deribatuz eta bigarrena integratuz: $du=(1/x)dx$ eta $v=x$ izango dira. Lortzen den espresioa:

\[
\int_{1}^{e}\ln xdx=x\ln x\Biggr|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}\frac{x}{x}dx=(e-0)-x\Biggr|_{1}^{e}=e-(e-1)=1
\]

Ikusten da nola $uv$ terminotik lortzen den $e$ emaitza gure laukizuzen handiaren azalera den, eta nola $vdu$ terminotik lortzen den $(e-1)$ balioa B segmentuaren azalera den. Bisualki egin dugunaren berbera egin dugu beraz!

Esan dezakegu, orduan, zatikako integrazio teknika erabiliz, interesatzen zaigun funtzioa integratu beharrean bere kurbak $y$ ardatzaren kontra sortzen duen azalera kalkulatzen dugula. Ondoren, integrazio mugak eta $x$ eta $y$ ardatzen artean dauden laukizuzen ezberdinak erabiltzen dira hasiera batean nahi genuen kurbaren azpiko azalera lortzeko.